ФотоМозгТригонометрические формулы
Основное тождество, таблица значений восьми углов, формулы двойного и тройного угла, понижение степени и знаки по четвертям — с символьной проверкой каждой записи при сборке страницы.
Опора
Основное тригонометрическое тождество
Вся тригонометрия держится на одном равенстве: sin²α + cos²α = 1. Оно верно при любом угле и берётся прямо из теоремы Пифагора для точки на единичной окружности — катеты равны синусу и косинусу, гипотенуза единице.
Из него выводится половина остального. Разделив обе части на cos²α, получаем 1 + tg²α = 1 / cos²α; разделив на sin²α — такое же соотношение для котангенса. Поэтому запоминать нужно одно это равенство, а не список следствий.
Значения
Таблица значений синуса, косинуса и тангенса
Восемь углов, которые встречаются в задачах чаще всего. Углы даны и в градусах, и в радианах — в старших классах чаще нужны вторые.
| Градусы | Радианы | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | — |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | — |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Ни одно значение здесь не набрано вручную: каждое считает sympy, а рядом лежит запись, которую человек хочет видеть на странице. Совпасть обязаны оба. Это ловит классическую путаницу тридцати и шестидесяти градусов — в таблице она глазами не видна, потому что обе строки выглядят одинаково правдоподобно.
Прочерк у тангенса не опечатка: при 90° и 270° косинус обращается в ноль, а тангенс — это отношение синуса к косинусу, поэтому значения там не существует. Машина это тоже проверяет, а не принимает на веру.
Весь список
Основные тригонометрические формулы
Ниже собраны формулы тригонометрии школьного курса, разбитые по назначению: тождества, двойной и тройной угол, сумма и разность углов, понижение степени и переход к произведению. Все эти формулы связывают тригонометрических функций между собой и потому взаимозаменяемы: одну и ту же задачу обычно решают двумя-тремя разными формулами, и выбор между ними — дело удобства, а не правильности.
| Запись | Что означает |
|---|---|
| sin²α + cos²α = 1 | основное тригонометрическое тождество |
| tg α = sin α / cos α | определение тангенса |
| 1 + tg²α = 1 / cos²α | следствие основного тождества |
| Запись | Что означает |
|---|---|
| sin 2α = 2 sin α · cos α | синус двойного угла |
| cos 2α = cos²α − sin²α | косинус двойного угла |
| cos 2α = 1 − 2sin²α | второй вид косинуса двойного угла |
| sin 3α = 3 sin α − 4sin³α | синус тройного угла |
| cos 3α = 4cos³α − 3 cos α | косинус тройного угла |
| Запись | Что означает |
|---|---|
| sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | синус суммы |
| cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β | косинус суммы |
| sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β | синус разности |
| cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β | косинус разности |
| tg α + tg β = sin(α + β) / (cos α cos β) | сумма тангенсов |
| Запись | Что означает |
|---|---|
| sin²α = (1 − cos 2α) / 2 | понижение степени |
| cos²α = (1 + cos 2α) / 2 | понижение степени для косинуса |
| Запись | Что означает |
|---|---|
| sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2) | сумма синусов в произведение |
| cos α − cos β = −2 sin((α+β)/2) sin((α−β)/2) | разность косинусов в произведение |
| Запись | Что означает |
|---|---|
| sin(π/2 − α) = cos α | сдвиг на четверть оборота меняет синус на косинус |
| cos(π/2 − α) = sin α | и наоборот |
| Запись | Что означает |
|---|---|
| sin(π − α) = sin α | синус тупого угла равен синусу смежного |
| cos(π − α) = −cos α | а косинус меняет знак |
| sin(π + α) = −sin α | половина оборота переворачивает знак |
| cos(2π + α) = cos α | полный оборот ничего не меняет |
Каждое тождество сводится символьно при сборке страницы: разность левой и правой части обязана упроститься до нуля на всей области определения, а не совпасть в одной проверочной точке. Перепутанный знак в формуле косинуса суммы страницу не соберёт.
Формулы двойного угла стоит знать в обе стороны. Слева направо они раскрывают: пользуясь формулой косинуса двойного угла, cos 2α превращают в разность квадратов. Справа налево эти же записи сворачивают выражение, и именно такой ход нужен при упрощении тригонометрических выражений, когда в примере появляется 2 sin α cos α. Формулы тригонометрии вообще чаще работают справа налево, чем наоборот — на это и рассчитаны задания на преобразование.
У косинуса двойного угла три равноправные записи, и это не избыточность. В задаче выбирают ту, после которой останется только синус или только косинус, — тогда выражение сводится к одной из тригонометрических функций и решается как обычное. Формулы для понижения степени нужны ровно для того же и выводятся отсюда же, поэтому отдельно их можно не учить.
Знаки
Четверти и знаки функций
Никакие формулы тут не нужны: знак синуса и косинуса зависит только от того, в какой четверти лежит угол. Запоминалок для этого придумано много, но проще один раз понять: косинус — это горизонтальная координата точки на окружности, синус — вертикальная.
| Четверть | Углы | sin | cos |
|---|---|---|---|
| 1 | от 0° до 90° | + | + |
| 2 | от 90° до 180° | + | − |
| 3 | от 180° до 270° | − | − |
| 4 | от 270° до 360° | − | + |
Знаки в таблице не переписаны из учебника: код берёт угол внутри каждой четверти и смотрит на знак вычисленного значения. Ошибка в строке роняет сборку страницы.
Отсюда же читаются формулы приведения. Сдвиг на π/2 меняет синус на косинус, сдвиг на π меняет знак, а на 2π не меняет ничего — тригонометрических функций это касается всех. Заучивать все формулы приведения целиком не нужно: достаточно помнить правило и уметь определить знак по четверти.
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения
Запись вида sin x = a решается не одним числом, а серией: подходящих углов бесконечно много, потому что функция периодична. Поэтому в ответе пишут формулу серии, а не отдельный корень — и это единственное место курса, где ответом служит формула, а не число.
| Уравнение | Серия корней |
|---|---|
| sin x = 1/2 | x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn |
| cos x = 1/2 | x = ±π/3 + 2πn |
| sin x = 0 | x = πn |
| cos x = 0 | x = π/2 + πn |
| cos x = −1 | x = π + 2πn |
| tg x = 1 | x = π/4 + πn |
Разница между сериями синуса и косинуса важнее, чем кажется. У косинуса корни расположены симметрично относительно нуля, поэтому серия записывается со знаком «плюс-минус». У синуса симметрия другая — относительно π/2, и серий получается две.
При решении тригонометрических уравнений сложнее простейших порядок такой: свести всё к одной функции подходящими формулами, обозначить её новой переменной, найти корни и вернуться к углу. Формулы тут работают как инструмент замены, а не как ответ сами по себе, и подбирают их под то, что мешает в конкретном примере.
Где ошибаются
Четыре ошибки, из-за которых теряется ответ
Первая: путают значения тридцати и шестидесяти градусов. Помогает привязка к порядку — чем больше угол в первой четверти, тем больше синус и тем меньше косинус.
Вторая: в записи косинуса суммы ставят плюс. Знак там противоположный: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. У синуса, наоборот, знак совпадает со знаком в скобке — эти две формулы и путают между собой чаще всего.
Третья: теряют вторую серию корней у синуса. Записав x = π/6 + 2πn, забывают про x = 5π/6 + 2πn, и половина ответов пропадает.
Четвёртая: делят обе части уравнения на cos x, не проверив, не обращается ли он в ноль. Так теряются корни, при которых косинус равен нулю, — и это самая обидная потеря, потому что решение при этом выглядит правильным.
Тригонометрия не сходится? Пришлите пример снимком
Открыть бота в Telegram Открыть бота в MAXКоротко