ФотоМозгКак решать логарифмы
Логарифм — это показатель степени, и из одной этой фразы выводится всё остальное: таблица значений, свойства, решение логарифмических уравнений с областью допустимых значений и правило смены знака в неравенствах.
Определение
Что такое логарифм
Логарифм — это показатель степени. Запись log28 = 3 читается так: чтобы получить 8, двойку нужно возвести в третью степень. Всё остальное про логарифмы выводится из этой одной фразы, и если её держать в голове, половину таблицы можно не запоминать, а восстанавливать.
У записи три части. Основание — число, которое возводят в степень (у нас 2). Аргумент логарифма — то, что должно получиться (у нас 8). И значение — искомый показатель. Отсюда сразу два ограничения, которые и образуют область допустимых значений: основание больше нуля и не равно единице, а аргумент строго больше нуля. Ноль и отрицательное число под знаком логарифма не стоят никогда — положительное число в какой степени ни возводи, ноль не получится.
Чтобы вычислить логарифм, достаточно задать себе один вопрос: в какую степень возвести первое число, чтобы вышло второе. Это и есть определение логарифма, из него выводится вся остальная тема. При вычислении логарифма помогает обратный ход: возведите основание в найденный показатель и посмотрите, получился ли аргумент. Все значения в таблице ниже проверены при сборке страницы именно так, а не переписаны из справочника.
| Логарифм | Значение |
|---|---|
| log21 | 0 |
| log22 | 1 |
| log28 | 3 |
| log216 | 4 |
| log2½ | −1 |
| log2⅛ | −3 |
| log39 | 2 |
| log381 | 4 |
| log3⅓ | −1 |
| log525 | 2 |
| log5125 | 3 |
| lg 100 | 2 |
| lg 1000 | 3 |
| lg 0,1 | −1 |
| log42 | ½ |
| log93 | ½ |
| log84 | ⅔ |
Дробное значение логарифма — обычное дело: log42 = ½, потому что 4½ — это корень из четырёх, то есть 2. Отрицательное значение означает, что аргумент меньше единицы.
Свойства
Свойства логарифмов, из которых собирается решение
Все свойства логарифмов — это переписанные свойства степеней. Логарифм произведения равен сумме логарифмов, потому что при умножении степеней показатели складываются. Логарифм частного равен разности по той же причине. Отдельно стоит запомнить одно: вынести можно только показатель степени аргумента, а не множитель перед логарифмом.
| Свойство | Запись |
|---|---|
| логарифм произведения | logc(ab) = logc a + logc b |
| логарифм частного | logc(a/b) = logc a − logc b |
| логарифм степени | logc(a²) = 2·logc a |
| переход к новому основанию | logb a = (logc a) / (logc b) |
| основное логарифмическое тождество | clogc a = a |
| логарифм основания | logc c = 1 |
| логарифм единицы | logc 1 = 0 |
Все свойства проверены дважды: символьно и подстановкой чисел на сетке оснований и аргументов. Второе нужно там, где символьное упрощение не доводит выражение до нуля.
Две записи с особыми именами. Десятичный логарифм пишут lg — под ним подразумевается десятка. Натуральный логарифм пишут ln, и там подразумевается число e ≈ 2,718. Никакой особой математики в них нет: десятичный логарифм и натуральный логарифм устроены так же, как любой другой, просто встречаются чаще прочих. Переход к новому основанию сводит любую запись к lg или ln — этим и пользуется калькулятор, у которого всего две такие кнопки. Натуральный логарифм вам понадобится позже, в производных и интегралах; десятичный логарифм — в физике и химии, там же, где появляется шкала pH.
Уравнения
Логарифмические уравнения
Решение логарифмических уравнений держится на одном приёме: обе части приводят к одному и тому же основанию, после чего приравнивают аргументы. Если справа число, его превращают в такую же запись: 5 = log232, потому что 25 = 32.
- Выписать ОДЗ: каждый аргумент логарифма строго больше нуля.
- Свернуть сумму или разность логарифмов в один по свойствам.
- Приравнять аргументы и решить получившееся уравнение.
- Проверить корни по ОДЗ и отбросить те, что его нарушают.
| Уравнение | Решение |
|---|---|
| log2x = 5 | x = 32 |
| log3(x − 1) = 2 | x = 10 |
| log5(2x + 3) = 1 | x = 1 |
| lg(x² − 3) = 0 | x = −2 и x = 2 |
| log2x + log2(x − 2) = 3 | x = 4, а x = −2 отброшен по ОДЗ |
Последняя строка — типичный случай. Уравнение сворачивается в квадратное, у квадратного два корня, но −2 подставить нельзя: под логарифмом окажется отрицательное число. Такой корень называют посторонним, и его не «теряют», а осознанно отбрасывают, записав почему.
Неравенства
Логарифмические неравенства и главная ловушка
Логарифмические неравенства решаются так же, как уравнения, но с одной поправкой, которая всё решает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства зависит от основания:
- Основание больше единицы — логарифм растёт вместе с аргументом, и знак неравенства сохраняется.
- Основание между нулём и единицей — логарифм убывает, и знак неравенства разворачивается на противоположный.
Это не соглашение, а следствие: при основании меньше единицы бо́льшему аргументу отвечает меньший показатель степени. При сборке страницы правило проверено перебором — 105 пар аргументов на пяти основаниях по обе стороны от единицы. Про сам разбор промежутков и метод интервалов написано отдельно, на странице как решать неравенства.
И не забывайте про ОДЗ: в неравенстве оно тоже обязательно, а ответ получается пересечением найденного промежутка с областью допустимых значений.
Где ошибаются
Четыре ошибки с логарифмами
- Забыли ОДЗ. Самая частая: корень найден верно, но под логарифмом при нём отрицательное число. В ответ он попасть не должен.
- Разложили логарифм суммы. Логарифм суммы не раскрывается никак: log(a + b) — это не log a + log b. Раскрывается только логарифм произведения.
- Не развернули знак в неравенстве с основанием меньше единицы.
- Потеряли основание при переходе. Свойства работают, только когда оно у всех слагаемых одинаковое; разные приводят к общему заранее.
Логарифм не сходится? Пришлите его снимком
Открыть бота в Telegram Открыть бота в MAXКоротко