Как решать задачи на движение

Одна формула, один приём и четыре типа условий. Двенадцать разобранных задач до ответа — навстречу, вдогонку, по реке и на среднюю скорость, каждая с проверкой вторым способом.

Основа

Три формулы, из которых собирается всё

Задачи на движение держатся на одном соотношении: расстояние равно скорости, умноженной на время. Остальные две формулы — это то же равенство, переписанное относительно скорости и относительно времени. Больше в школьном курсе ничего не понадобится, и заучивать отдельно каждую не нужно.

Размерности сверяются при каждой сборке страницы: если бы в записи перепутали умножение и деление, слева и справа получились бы разные единицы, и страница бы не собралась.

Отсюда первое правило: единицы должны быть согласованы. Скорость в километрах в час — значит время в часах, а не в минутах, и расстояние в тех же единицах, что в условии. Половина неверных ответов в этой теме получается не из-за логики, а из-за того, что 30 минут подставили как 30.

Главный приём

Скорость сближения и скорость удаления

Всё, что отличает задачи на движение от простой подстановки в формулу, — это второй объект. Когда их два, считают не каждый по отдельности, а то, как быстро меняется расстояние между движущимися телами. Эта величина и называется скоростью сближения или удаления.

Знак определяется тем, сокращается расстояние между участниками или растёт. Сокращается — берём сумму, растёт при погоне — берём разность. Дальше в формулу подставляется уже эта величина, и второго участника в расчёте больше нет.

Характер движения в условии задачи всегда описан словесно, и переводить его в знак приходится читателю. «Одновременно из разных пунктов друг к другу» — сумма. «Догоняет», «идёт следом», «отстаёт на» — разность. Определить это следует до всякого счёта: дальше ошибиться уже негде.

Как подступиться

Порядок решения из четырёх шагов

1. Выписать, что даноСкорости, расстояние, время — каждое со своей единицей. Пока величины не выписаны, условие держится в голове целиком, и это главный источник путаницы.
2. Понять характер движенияНавстречу, вдогонку, в разные стороны или по реке. От этого зависит единственное: складывать скорости или вычитать.
3. Найти скорость сближенияСложением или вычитанием, смотря по второму шагу. Это и есть весь переход от двух объектов к одному.
4. Подставить в формулуДальше задание обычное: расстояние, скорость и время связаны одним равенством, и неизвестное находится делением или умножением.

Четвёртый шаг стоит проверять обратным ходом. Нашли время — умножьте его на скорости и посмотрите, сходится ли расстояние из условия. Эта проверка занимает секунды и ловит ошибку в знаке, которую иначе видно не будет.

Навстречу

Движение навстречу друг другу

Самый частый тип. Движение навстречу по прямой: расстояние между двумя точками известно, нужно найти время до встречи или расстояние, пройденное одним из них. Решение задач на движение этого вида и разбирают в школе первым.

Проверка здесь особенно наглядна: сложите пройденное каждым и сравните с начальным расстоянием. Совпало — решение верное, и разбор закончен.

Вдогонку

Один догоняет другого

Второй по частоте тип. Оба движутся в одну сторону, между ними отрыв, и задание — узнать, через сколько первый догонит второго. Скорости вычитаются, и на этом всё отличие. Если один двигался дольше другого, сначала считают его фору.

Отдельный подвид — когда один вышел раньше. Тогда сначала считают, сколько он успел пройти за фору, а полученное расстояние и есть тот отрыв, который предстоит сократить.

В разные стороны

Расстояние растёт

Здесь считают то же, что при встречном движении, но вопрос перевёрнут: не через сколько сойдутся, а насколько разойдутся. Стартовать участники могут из общей точки или из разных — на расчёт это не влияет. Маршрут тоже роли не играет, важны лишь направления.

По реке

Движение по течению и против течения

Этот тип пугает больше остальных, хотя устроен просто. У лодки две характеристики вместо одной: собственная — паспортная, на неподвижной воде, — и скорость реки. Вниз по руслу они складываются, вверх вычитаются.

Полезное следствие, которое стоит помнить: разность скорости по течению и скорости против течения всегда равна удвоенной скорости течения, и собственная скорость в неё не входит. Это соотношение и служит проверкой к каждой задаче на движение по реке.

Отдельно про плот. У него нет собственной скорости, поэтому он движется ровно со скоростью течения — это не упрощение условия, а физика. Задание с плотом обычно и добавляют, чтобы скорость течения можно было найти.

Средняя скорость

Средняя скорость считается делением, а не усреднением

Здесь ошибаются чаще, чем во всей остальной теме вместе взятой. Полусумма двух скоростей ответом не является почти никогда: делить нужно всю дорогу на всё затраченное время, и никакого другого определения у этой величины нет.

Отсюда следует практический вывод: способ «сложить и поделить пополам» даёт неверный ответ. Причина в том, что медленный участок отнимает больше времени и потому весит сильнее — грузовик из первой задачи провёл на второй половине дороги в полтора раза дольше, чем на первой. Когда одинаковы не расстояния, а промежутки времени, полусумма случайно совпадает с ответом, но правилом это не делает.

Формулировки

Как читать условие задачи

Разбор условий задачи занимает больше времени, чем сам счёт, и это нормально. Формулировок в учебниках немного, и почти каждая переводится на язык формул однозначно.

• «Вышли одновременно навстречу друг другу» — скорости складываются, ищем время встречи.
• «Вышел на два часа раньше» — фора: сначала считаем, сколько он прошёл за это время, и получаем отрыв.
• «Расходятся в противоположных направлениях» — расстояние растёт, скорости тоже складываются.
• «Найдите скорость» — если участник один, это прямая подстановка; если двое, сначала считают их суммарную или разностную величину.
• «Половину пути» и «половину времени» — разные условия, и средняя скорость в них считается по-разному.

Отдельно про подготовку к экзамену: там встречается движение по прямой в чистом виде и движение по окружности, но приём остаётся тем же — свести двоих к одному через скорость сближения. Способ решения не зависит ни от маршрута, ни от того, кто именно едет. Научившись решать задачи на движение в четырёх основных видах, остальные разбирают по аналогии.

Где ошибаются

Четыре ошибки, из-за которых сходится не тот ответ

Решение задач на движение ломается всегда в одних и тех же местах, и мест этих четыре. Первая ошибка: смешаны единицы. Минуты подставлены как часы, метры как километры. Лечится тем же первым шагом — выписать данные вместе с единицами.

Вторая: скорости сложены там, где нужно вычесть. Признак — в условии сказано «догоняет» или «вслед», а в решении появилась сумма.

Третья: средняя скорость посчитана как полусумма. Верно только тогда, когда равны времена, а не расстояния.

Четвёртая: в задачах по реке потеряна собственная скорость лодки. Против течения объект движется медленнее, но не со скоростью течения — вычитать надо из собственной, а не наоборот.

Коротко

Часто задаваемые вопросы