ФотоМозгФормулы по математике
Тождества алгебры, которые верны всегда, и правила геометрии, которые считают площади и объёмы. Первые проверены символьно, вторые — подстановкой чисел, и обе проверки идут при каждой сборке страницы.
Тождества
Формулы по математике, которые работают всегда
Основные формулы школьной математики делятся на две породы, и путать их не стоит. Первая — тождества: равенства, верные при любых значениях букв. (a + b)² = a² + 2ab + b² не нужно доказывать в каждой задаче, его можно применять как есть, в любую сторону. Именно они сокращают дроби, раскрывают скобки и упрощают математические выражения.
| Запись | Что означает |
|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | квадрат суммы |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | квадрат разности |
| a² − b² = (a − b)(a + b) | разность квадратов — самая полезная в сокращении дробей |
| (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | куб суммы |
| (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | куб разности |
| a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | сумма кубов |
| a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | разность кубов |
| Запись | Что означает |
|---|---|
| aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ | при умножении показатели складываются |
| aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ | при делении вычитаются |
| (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ | степень степени — показатели умножаются |
| (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | степень произведения |
| a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | отрицательный показатель — это дробь |
| √(ab) = √a · √b | корень из произведения |
| a^(1/2) = √a | дробный показатель — это корень |
| Запись | Что означает |
|---|---|
| sin²α + cos²α = 1 | основное тригонометрическое тождество |
| sin 2α = 2 sin α · cos α | синус двойного угла |
| cos 2α = cos²α − sin²α | косинус двойного угла |
| tg α = sin α / cos α | определение тангенса |
| sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | синус суммы |
| Запись | Что означает |
|---|---|
| sin(π/2 − α) = cos α | сдвиг на четверть оборота меняет синус на косинус |
| cos(π/2 − α) = sin α | и наоборот |
| sin(π − α) = sin α | синус тупого угла равен синусу смежного |
| cos(π − α) = −cos α | а косинус меняет знак |
| sin(π + α) = −sin α | половина оборота переворачивает знак |
| cos(2π + α) = cos α | полный оборот ничего не меняет |
| Запись | Что означает |
|---|---|
| loga(xy) = logax + logay | логарифм произведения |
| loga(x / y) = logax − logay | логарифм частного |
| logaxⁿ = n · logax | показатель выносится множителем |
| a^(logax) = x | основное логарифмическое тождество |
Каждое тождество при сборке страницы раскрывается символьно и сводится с правой частью: разность обязана обратиться в ноль. Опечатка вроде «a³ + b³ = (a + b)(a² + b²)» так не пройдёт — проверено на заведомо испорченных записях.
Основные формулы тригонометрии стоят особняком. Формула сложения — синус суммы двух углов — и формула двойного угла выводятся одна из другой, а формулы приведения вообще не требуют запоминания: достаточно понимать, что сдвиг на четверть оборота меняет синус на косинус, а на половину — знак. Из основного тождества выводится и формула двойного угла для косинуса, поэтому заучивать имеет смысл только его.
Эти семь записей работают в обе стороны, и вторая сторона важнее. Слева направо раскрываем скобки; справа налево раскладываем на множители, а это то, ради чего они и нужны: сократить дробь, решить уравнение разложением, вынести общий множитель.
Правила
Площади, уравнения и прогрессии
Вторая порода — правила и определения. S = ah / 2 нельзя «раскрыть»: это способ считать площадь, а не тождество. Проверить такую формулу символьно нечем, зато можно подставить числа и сверить с ответом. Ниже рядом с каждой формулой стоит такая проверка — и она пересчитывается при каждой сборке страницы.
| Формула | Что считает и пример |
|---|---|
| S = ab | площадь прямоугольника. При a = 7, b = 4 выходит 28 |
| S = a² | площадь квадрата. При a = 6 выходит 36 |
| S = ah / 2 | площадь треугольника: основание на высоту пополам. При a = 8, h = 5 выходит 20 |
| S = (a + b)h / 2 | площадь трапеции: полусумма оснований на высоту. При a = 6, b = 10, h = 4 выходит 32 |
| S = πr² | площадь круга. При r = 3 выходит 28,27 |
| C = 2πr | длина окружности. При r = 3 выходит 18,85 |
| P = 2(a + b) | периметр прямоугольника. При a = 7, b = 4 выходит 22 |
| V = abc | объём прямоугольного параллелепипеда. При a = 2, b = 3, c = 4 выходит 24 |
| Формула | Что считает и пример |
|---|---|
| D = b² − 4ac | дискриминант квадратного уравнения x² − 5x + 6. При a = 1, b = -5, c = 6 выходит 1 |
| x = (−b ± √D) / 2a | первый корень того же уравнения. При a = 1, b = -5, D = 1 выходит 3 |
| x₁ + x₂ = −b / a | теорема Виета: сумма корней. При a = 1, b = -5 выходит 5 |
| x₁ · x₂ = c / a | теорема Виета: произведение корней. При a = 1, c = 6 выходит 6 |
| Формула | Что считает и пример |
|---|---|
| c² = a² + b² | теорема Пифагора для прямоугольного треугольника. При a = 3, b = 4 выходит 5 |
| c² = a² + b² − 2ab·cos C | теорема косинусов: при прямом угле косинус равен нулю и она становится Пифагором. При a = 3, b = 4, C = pi/2 выходит 5 |
| a / sin A = c / sin C | теорема синусов: отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково. При a = 3, A = asin(3/5) выходит 5 |
| S = ½ab·sin C | площадь треугольника через две стороны и угол. При a = 3, b = 4, C = pi/2 выходит 6 |
| Формула | Что считает и пример |
|---|---|
| aₙ = a₁ + (n − 1)d | n-й член арифметической прогрессии. При a1 = 3, n = 10, d = 4 выходит 39 |
| Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 | сумма первых n членов арифметической. При a1 = 3, an = 39, n = 10 выходит 210 |
| bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ | n-й член геометрической прогрессии. При b1 = 2, q = 3, n = 5 выходит 162 |
| Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1) | сумма первых n членов геометрической. При b1 = 2, q = 3, n = 5 выходит 242 |
| aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 | свойство арифметической прогрессии: каждый член — среднее соседей. При prev = 35, next = 43 выходит 39 |
| bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ | свойство геометрической прогрессии: квадрат члена равен произведению соседей. При prev = 54, next = 486 выходит 162 |
| Формула | Что считает и пример |
|---|---|
| часть = целое · p / 100 | процент от числа. При целое = 250, p = 30 выходит 75 |
| целое = часть · 100 / p | число по его проценту. При часть = 36, p = 20 выходит 180 |
| a/b + c/d = (ad + bc) / bd | сложение дробей с разными знаменателями. При a = 1, b = 2, c = 1, d = 3 выходит 0,83 |
Три записи из блока про треугольник нужны чаще прочих. Пифагор работает только в прямоугольном; следующая строка — в любом и превращается в него, когда угол прямой; третья связывает стороны с противолежащими углами. Свойство прогрессии — каждый член равен среднему соседей — спрашивают чаще, чем сумму.
Формулы для ОГЭ по математике и формулы для ЕГЭ по математике различаются не столько составом, сколько тем, что на экзамене дают в справочном листе, а что нужно помнить. Состав листа утверждается заново каждый год, поэтому смотреть надо демоверсию своего года на сайте ФИПИ, а не чужие подборки.
По классам
Формулы по математике по классам
Набор математических записей растёт от класса к классу, но старые никуда не деваются: то, что выучено в седьмом, работает и на ЕГЭ. Ниже — что добавляется в каждом году.
5–6 класс. Дроби, проценты, пропорция, периметр и площадь прямоугольника, объём параллелепипеда. Почти всё про измерение. Отдельная тема — как решать проценты: три типа задач, к которым сводится остальное.
7 класс. Степени с натуральным показателем, одночлены и многочлены, сокращённое умножение, линейные уравнения и системы. Рядом — признаки равенства треугольников и сумма углов.
8 класс. Квадратные корни, дискриминант и формула корней, теорема Виета, дробно-рациональные выражения. Дальше площади четырёхугольников, Пифагор и подобие.
9 класс. Прогрессии, неравенства и их системы, степень с целым показателем, начала тригонометрии. Здесь же площадь круга и длина окружности — и вся эта математика по классам сходится в первой части ОГЭ.
10–11 класс. Тригонометрия целиком, логарифмы, производная и её применение, стереометрия, вероятность. Формулы для ЕГЭ по математике профильного уровня почти все отсюда. Рядом пригодятся таблица производных и таблица интегралов.
Как пользоваться
Как не перепутать формулу
Смотрите на структуру, а не на буквы. В формуле (a + b)² буквы могут быть любыми выражениями: (2x + 3y)² раскрывается ровно так же, где a = 2x, b = 3y. Ошибка «раскрыл только квадраты, забыл удвоенное произведение» происходит именно тогда, когда смотрят на буквы.
Проверяйте подстановкой. Сомневаетесь в записи — возьмите a = 2, b = 3 и посчитайте обе части. Слева выйдет 25, справа 13 — значит вспомнили неверно. Приём работает на любой записи, и этой же проверкой страница проверяет сама себя.
Не заучивайте то, что выводится. Сумма прогрессии получается за две строки, косинус двойного угла — из основного тождества. Учить стоит только то, что не выводится за минуту.
Помните про область определения. Логарифм существует только для положительного числа, корень чётной степени — тоже, знаменатель не равен нулю. Формула применима, а решение — нет, и на экзамене это стоит балла.
Ошибки
Где теряют баллы
Квадрат суммы считают суммой квадратов. Самая массовая ошибка всей школьной программы: (a + b)² — это не a² + b².
Теряют знак в разности кубов. В скобке стоит плюс ab, хотя снаружи минус, и наоборот. Здесь помогает не память, а раскрытие: перемножьте и убедитесь.
Путают площадь треугольника и трапеции. В одном случае половина произведения основания на высоту, в другом — полусумма оснований на высоту. Разница в одном слове.
Считают дискриминант как b² + 4ac. Минус не украшение: с плюсом у x² − 5x + 6 выйдет 49 вместо 1 и другие корни.
Складывают логарифмы вместо перемножения аргументов. log(x) + log(y) = log(xy), а не log(x + y). Обратная ошибка так же часта.
Пример не решается по формуле? Сфотографируйте его
Открыть бота в Telegram Открыть бота в MAXКоротко