Как решать уравнения

Два действия, из которых складывается решение уравнений любого вида, разбор линейных, квадратных и дробных и одна проверка, которая ловит любую ошибку, — подстановка корня в исходное уравнение.

Что значит решить

Корень уравнения — это проверяемая вещь

За словом «решить» стоит вполне конкретное требование: перебрать не наугад, а найти каждое число, которое превращает запись в верное равенство. Такие числа и зовут корнями, и полезны они тем, что проверяются сами — подставил в уравнение, и видно, сошлись ли обе его половины.

Отсюда следует единственный способ убедиться в ответе, на который можно положиться. Не «похоже на правду» и не «так было в разобранном примере», а возврат найденного числа в исходное уравнение. Разошлись половины — ответ неверен, и аккуратность записи тут ничего не меняет. Ошибка, спрятанная в одном знаке, встречается постоянно.

Все корни на этой странице проверены именно так: каждый подставлен обратно при сборке страницы. Отдельно sympy решает то же уравнение сам, и его набор корней обязан совпасть с напечатанным — иначе потерянный корень прошёл бы незамеченным, ведь подстановка проверяет только то, что написано, а не то, что забыли.

Основа

Два действия, из которых состоит решение линейных уравнений

Разрешённых действий всего два, и оба оставляют ответ прежним. Первое: добавить любое число сразу с обеих сторон. Второе: увеличить обе стороны в одинаковое число раз, лишь бы множитель не был нулём. Всё прочее, что делают на уроке, — сокращённая запись этих двух.

Перенос слагаемого через знак равенства с переменой знака — это первое действие, записанное короче. Деление обеих частей на коэффициент — второе. Больше в линейном случае ничего не понадобится.

Последовательность не меняется от примера к примеру: убрать скобки, перегнать буквы в одну часть уравнения, цифры в другую, сложить подобное и поделить на то, что осталось при переменной. Этого хватает, чтобы решить уравнение с одной переменной. Бывает, что буква исчезает вовсе, — тогда смотрят на оставшееся числовое равенство: верное означает бесконечно много решений данного уравнения, неверное — что решений нет ни одного.

Через дискриминант

Квадратные уравнения

Когда переменная в уравнении возведена в квадрат, ответ ищут по готовой формуле, но прежде считают вспомогательное число — дискриминант, записываемый как b² − 4ac. Оно отвечает на вопрос о количестве ответов до того, как их вычислили: больше нуля — два, ровно ноль — один, меньше нуля — среди действительных чисел ни одного.

Дискриминанты в таблице пересчитываются при сборке страницы, а число корней сверяется с его знаком. Дополнительно проверяется теорема Виета: сумма корней обязана дать −b/a, произведение c/a. Это третий, совсем отдельный путь к тем же числам.

Есть два вида уравнений, где вспомогательное число вычислять не нужно вовсе. Пропало число без буквы — выносим переменную за скобку и получаем произведение, равное нулю. Пропало среднее слагаемое — перед нами разность квадратов. Такие уравнения умещаются в строку, а формула корней там только отнимет время.

Осторожно

Дробные уравнения и посторонние корни

Буква под чертой дроби добавляет уравнению условие, которого в остальных случаях нет: делить на ноль нельзя, а значит знаменатель нулём стать не должен. Числа, при которых это происходит, вычёркивают до начала счёта — их набор и называют областью допустимых значений данного уравнения.

Пропуск этой проверки даёт посторонний корень уравнения — число, которое получилось по ходу решения, но исходному уравнению не подходит. В первом примере таблицы числитель обращается в ноль при двух значениях, но одно из них обнуляет знаменатель, и в ответ идёт только второе.

Машина проверяет это отдельно: значение, обнуляющее знаменатель, не должно попасть в список корней. Если бы оно там оказалось, подстановка дала бы деление на ноль, и страница не собралась бы.

Порядок

Как подступиться к незнакомому уравнению

1. Определить вид уравненияБуква без степени — линейное, в квадрате — квадратное, под чертой дроби — дробное. От этого зависит весь дальнейший ход.
2. Записать ограниченияЕсли есть знаменатель с переменной или корень чётной степени, ограничения выписывают до решения, а не после.
3. УпроститьУбрать скобки, сложить подобное, при дробях домножить всё целиком на общий знаменатель.
4. Решить и подставитьНайденные корни подставить в исходное уравнение — это одновременно проверка и отсев посторонних.

Четвёртый шаг пропускают чаще всего, а он единственный даёт уверенность. Подстановка занимает меньше времени, чем повторный счёт, и ловит любую арифметическую ошибку сразу. В нашем уравнении из первой строки таблицы это одно действие.

Где ошибаются

Четыре ошибки, которые повторяются

Первая: слагаемое перегнали в другую часть уравнения, а знак ему не поменяли. Ловится подстановкой за пару секунд.

Вторая: делят обе части уравнения на выражение с переменной. Если оно может обратиться в ноль, вместе с ним теряется корень уравнения — и решение выглядит завершённым, хотя половина ответа пропала. Здесь стоит быть особенно внимательным.

Третья: при отрицательном коэффициенте теряют минус во вспомогательном числе. В записи b² − 4ac к знаку чувствительны оба места сразу, и промах даёт правдоподобное, но неверное количество ответов.

Четвёртая: забывают про область допустимых значений данного уравнения и выдают посторонний корень за ответ. Лечится тем же четвёртым шагом — подстановкой в исходное уравнение, а не в промежуточную запись.

Коротко

Часто задаваемые вопросы