ФотоМозгФормулы площади
Семь формул, которых хватает на всю школьную геометрию, три свойства площади, из которых эти формулы выводятся, перевод единиц без ошибки в сто раз и разбор задач с пересчётом.
Все фигуры разом
Формулы площади школьного курса
Семь записей, которых хватает на всю школьную геометрию: площадь квадрата, площадь прямоугольника, треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции и круга. Все прочие геометрических очертаний фигуры разрезаются на эти семь. Математика здесь короткая, и заучивать всю таблицу не нужно — достаточно двух строк, из которых выводятся остальные. Площадь квадрата, например, — это тот же прямоугольник, у которого обе стороны совпали.
| Фигура | Формула площади | Что означает |
|---|---|---|
| Квадрат | S = a² | сторона сама на себя |
| Прямоугольник | S = a · b | длина на ширину |
| Треугольник | S = a · h / 2 | основание на высоту пополам |
| Параллелограмм | S = a · h | сторона на высоту к ней |
| Ромб | S = d₁ · d₂ / 2 | полупроизведение диагоналей |
| Трапеция | S = (a + b) / 2 · h | полусумма оснований на высоту |
| Круг | S = π · r² | пи на квадрат радиуса |
Каждая строка проверена при сборке страницы двумя способами: по размерности (после замены всех длин одним символом обязан остаться квадрат длины, а не длина и не куб) и вторым независимым расчётом. Площадь треугольника сверена с записью Герона, у ромба — со стороной, помноженной на высоту, у трапеции — с разрезанием на прямоугольник и треугольник, у круга — с численным интегрированием.
Что такое площадь
Три свойства площади, из которых всё следует
Площадь — это число, которое показывает, сколько единичных квадратов помещается в фигуру. Отсюда и единица измерения: у квадрата со стороной 1 см она равна 1 см². Ответ поэтому всегда получается в квадратных единицах, и это не украшение записи, а половина дела: математика без единицы измерения задачу не закрывает.
- Площадь не бывает отрицательной. Если в расчёте вышел минус, ошибка в подстановке, а не в формуле.
- Равные фигуры имеют равные площади. Фигуру можно поворачивать и переносить — площадь от этого не меняется.
- Разрезанная фигура равна сумме площадей этих кусков. На практике это главное, что нужно знать: любую сложную фигуру делят на знакомые, считают каждый кусок и складывают.
Третье свойство и объясняет, откуда берётся вся таблица. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину — это прямо из определения: в него укладывается ровно столько единичных квадратиков. Треугольник — половина параллелограмма, поэтому у него выходит вдвое меньше. Трапеция режется на прямоугольник и треугольник. Ромб — на четыре прямоугольных треугольника с катетами в половину диагоналей. Так и получается, что заучивать нужно две строки, а остальные пять выводятся за минуту.
Единицы
Единицы измерения площади и перевод между ними
Главная ловушка перевода: площадь растёт не так, как длина. Если линейная единица больше в 10 раз, то квадратная — в 100. Забывают об этом постоянно, и ошибка выходит ровно в сто раз.
| Единица | Сколько это | Почему |
|---|---|---|
| 1 см² | 100 мм² | сторона больше в 10 раз |
| 1 дм² | 100 см² | сторона больше в 10 раз |
| 1 м² | 100 дм² | сторона больше в 10 раз |
| 1 м² | 10000 см² | сторона больше в 100 раз |
| 1 км² | 1000000 м² | сторона больше в 1000 раз |
| 1 га | 10000 м² | участок 100 × 100 м |
Множители в таблице не переписаны, а выведены: линейное отношение берётся из длины каждой единицы в метрах и возводится в квадрат. Гектар стоит отдельно, потому что это единица площади, а не длины: квадрат со стороной 100 м.
Разбор
Расчёт площади на примерах
Порядок расчёта площади один и тот же для любой фигуры: определить, что перед вами, выписать нужную строку из таблицы, подставить размеры в одинаковых единицах измерения и записать ответ с квадратом единицы. Больше ничего не требуется.
| Условие | Площадь |
|---|---|
| Прямоугольник 7 см на 4 см | 28 см² |
| Квадратная комната 9 × 9 м | 81 м² |
| Треугольник: основание 10 см, высота 6 см | 30 см² |
| Трапеция: основания 5 и 9 см, высота 4 см | 28 см² |
| Ромб с диагоналями 8 и 6 см | 24 см² |
| Круг радиуса 3 см | 9π ≈ 28,3 см² |
Числа в правой колонке пересчитываются из условия при каждой сборке страницы и сверяются с записанным ответом. Разойдутся — страница не соберётся.
Обратите внимание на последнюю строку. Площадь круга удобнее оставить в виде 9π: это точное значение, а 28,3 — уже округление. В геометрии ответ с π считается более полным, если в условии не сказано «округлить».
Сложные фигуры
Вычисления площади там, где готовой фигуры нет
В жизни и в задачах фигура редко бывает правильной. Комната с выступом, участок с дорожкой, стена дома с треугольным верхом — всё это площади геометрических фигур, сложенные из простых. Приём один: мысленно разрезать на знакомые куски, посчитать каждый и сложить. Лишний кусок вычитают, а не прибавляют — на этом и спотыкаются чаще всего.
Надёжность приёма проверяется тем, что разрезать можно по-разному, а ответ обязан выйти один. Это не красивая мысль, а рабочий способ себя проверить: разрежьте фигуру вторым способом и сравните. Каждая фигура ниже посчитана при сборке страницы двумя разными разрезаниями, и расхождение остановило бы сборку.
| Фигура | Площадь |
|---|---|
| Г-образная комната: из прямоугольника 6 × 4 м вырезан угол 2 × 2 м | 20 м² |
| Дом с двускатной крышей: стена 8 × 3 м и треугольник с основанием 8 м и высотой 2 м | 32 м² |
| Клумба 10 × 10 м с круглой дорожкой радиуса 2 м внутри | 100 − 4π ≈ 87,4 м² |
На этой проверке уже поймана одна настоящая ошибка: во втором разрезании дома высота габаритного прямоугольника была взята 4 м вместо 5, и суммы разошлись — 24 против 32. Глазом такое не видно, а машина упёрлась сразу.
Порядок для сложной фигуры: обозначить размеры каждого куска, привести их к одной единице измерения, посчитать по отдельности и сложить с нужными знаками. С ответом удобно сверяться на глаз: площадь составной фигуры не может быть больше габаритного прямоугольника, в который она вписана, — грубая ошибка видна сразу, без пересчёта.
Не перепутать
Площадь, периметр и окружность
Три величины, которые путают чаще всего, потому что они про одну фигуру, но отвечают на разные вопросы.
- Периметр — длина границы, измеряется в сантиметрах. У четырёхугольника со сторонами a и b это 2(a + b).
- Площадь — то, что внутри, измеряется в квадратных сантиметрах. У него же это a · b.
- Длина окружности — это периметр круга, 2πr. А площадь круга — πr². Разница в одну букву, а величины разной природы: одна длина, вторая площадь.
Отдельно стоит держать в голове, чего в таблице нет. Площадь поверхности объёмного тела — куба, цилиндра, шара — считается иначе: там складывают площади всех граней или пользуются своими соотношениями. И площадь сектора круга тоже не выводится из семи строк напрямую: её берут как долю целого круга по величине угла. Обе темы идут позже, в старших классах, и на них правило про квадрат длины работает так же.
Проверка на размерность решает спор за секунду: если в ответе сантиметры, посчитан периметр или длина окружности; если квадратные сантиметры — площадь. Ровно эта проверка встроена в сборку страницы и не даёт формуле разойтись со здравым смыслом. Про формулы других разделов написано отдельно: формулы по математике и тригонометрические формулы.
Не сходится площадь? Пришлите чертёж снимком
Открыть бота в Telegram Открыть бота в MAXКоротко