ФотоМозгКак решать неравенства
Одно правило, которым неравенство отличается от уравнения, метод интервалов для квадратных и дробных, пересечение промежутков в системах — и проверка пробной точкой, которая ловит любую из четырёх типовых ошибок.
С чего начать
Чем неравенство отличается от уравнения
У уравнения ответ — число или несколько чисел. У неравенства ответ — промежуток, то есть сразу бесконечно много значений. Отсюда и разница в записи: решением уравнения будет «x = 3», а решением неравенства — «x > 3», и в этот ответ попадают и 3,1, и 4, и миллион.
Отсюда же и проверка. Корень уравнения подставляют обратно и смотрят на равенство. Решение неравенства целиком подставить нельзя, поэтому проверяют иначе: берут любое число из полученного промежутка и любое снаружи. Первое обязано обращать неравенство в верное, второе — в неверное. Если оба ведут себя одинаково, где-то ошибка, и чаще всего в знаке.
Сравнение бывает строгим и нестрогим. Строгое (< и >) границу не включает, нестрогое (≤ и ≥) включает. В ответе это видно по скобке: круглая — граница выколота, квадратная — входит. Разница в одну точку кажется мелочью ровно до контрольной, где эту точку и спрашивают.
Классификация
Виды неравенств и как выбрать способ
Прежде чем решать, полезно понять, что перед вами: от вида зависит метод решения неравенств, и перебирать все подряд не нужно. Виды неравенств школьного курса различают по тому, как в них входит переменная.
- Линейное — переменная только в первой степени. Решается переносом и делением на коэффициент.
- Квадратное — есть x². Решают методом интервалов, найдя нули соответствующего уравнения.
- Рациональные неравенства — переменная стоит и в знаменателе. Такое неравенство тоже решают методом интервалов, но с выколотыми точками: рациональные неравенства всегда идут вместе с областью допустимых значений.
- Система — несколько условий сразу. Каждое решается отдельно, а потом берётся пересечение.
По сути неравенство — это спор двух выражений о том, какое больше. Решить неравенство — значит перечислить все значения переменной, при которых спор заканчивается в нужную сторону. Отсюда и способ проверки: чтобы понять, является ли число решением неравенств, подставьте его в обе стороны и сравните получившиеся числа между собой.
Главное правило
Что можно делать с обеими частями неравенства
Неравенство равносильно исходному, пока с его частями делают то, что не меняет множества решений. Таких действий два, и они те же, что у уравнения, но со второй оговоркой:
- Добавить к обеим частям неравенства одну и ту же величину — или отнять её. Сравнение от этого не портится: если левая сторона перевешивала, она перевешивает и дальше. Отсюда и привычный приём «перенести через знак»: слагаемое исчезает слева и появляется справа с обратным знаком.
- Домножить обе части неравенства на число или поделить на него. Положительный множитель картину не трогает. Отрицательный переворачивает её целиком: то, что перевешивало, начинает уступать, — и знак приходится развернуть, иначе запись станет ложной.
Второе и есть та единственная вещь, которой неравенство отличается от уравнения в решении. Проверить её легко на числах: 2 < 5 — верно; умножим обе части на −1 и получим −2 и −5, а −2 > −5. Знак развернулся. В этом модуле правило проверено не одним примером, а перебором: 780 пар чисел на пяти отрицательных множителях.
Отсюда практический вывод: делить неравенство на выражение с переменной нельзя, пока неизвестен его знак. Именно поэтому дробные неравенства решают методом интервалов, а не «умножением крест-накрест».
Линейные
Как решать линейные неравенства
С линейными работы меньше всего. Соберите переменную по одну сторону, числа — по другую, а дальше поделите на то, что осталось при переменной. Единственная развилка здесь одна: делитель отрицательный — разворачивайте знак, положительный — оставляйте как был. Записывать ответ сразу удобно промежутком, а не словами.
| Неравенство | Решение |
|---|---|
| 2x − 6 > 0 | x > 3 |
| 5 − x ≥ 0 | x ≤ 5 |
| −3x + 12 < 0 | x > 4 |
| 4x + 1 ≤ 2x − 5 | x ≤ −3 |
| −x/2 > 3 | x < −6 |
В третьей строке коэффициент отрицательный: делим на −3, и знак неравенства меняется. В пятой то же самое при делении на −½. Это и есть место, где теряется половина баллов.
Квадратные
Квадратные неравенства и метод интервалов
Квадратные неравенства решают не подбором, а по картинке знаков. Порядок такой:
- Собрать всё в одну сторону, чтобы справа от знака остался ноль.
- Приравнять получившееся выражение к нулю и найти его нули.
- Нанести эти нули на прямую: они разбивают её на куски.
- В каждом куске взять любую точку и посмотреть, какой знак даёт выражение.
- Оставить куски с подходящим знаком — они и складываются в ответ.
Почему хватает одной точки на кусок: чтобы сменить знак, выражение обязано где-то обратиться в ноль, а все нули уже отмечены и стоят на границах. Внутри куска обращаться в ноль негде — значит и знак там один на всех. Пробную точку поэтому берут какую удобно, хоть целую, хоть дробную.
Разберём данное неравенство по шагам на примере x² − 5x + 6 > 0. В левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен; приравняв его к нулю, получаем уравнение с корнями 2 и 3. Эти два числа делят прямую на три промежутка. Подставим в левую часть неравенства пробные точки — 0, 2,5 и 4 — и получаем неравенство верным на крайних промежутках и неверным на среднем. Нужен знак «больше», значит в ответ идут крайние. Решить неравенство методом интервалов — это и есть проделать описанное: найти нули, расставить знаки, выбрать нужные промежутки.
Если решить неравенство требуется со знаком «меньше», ответом станет средний промежуток — данное неравенство отличается от предыдущего только выбором, а вся работа до него та же самая.
| Неравенство | Нули | Знаки | Решение |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 > 0 | 2 и 3 | + − + | x < 2 или x > 3 |
| x² − 5x + 6 ≤ 0 | 2 и 3 | + − + | 2 ≤ x ≤ 3 |
| x² − 9 ≥ 0 | −3 и 3 | + − + | x ≤ −3 или x ≥ 3 |
| −x² + 4x − 3 > 0 | 1 и 3 | − + − | 1 < x < 3 |
| x² + 2x + 5 > 0 | корней нет | + | любое x |
| x² + 2x + 5 < 0 | корней нет | + | решений нет |
Знаки в третьей колонке не переписаны из учебника, а посчитаны подстановкой пробной точки в каждый промежуток при сборке страницы. Две последние строки — случай, когда дискриминант отрицательный: нулей нет, парабола целиком выше оси, и одно неравенство верно при любом x, а обратное не имеет решений вовсе.
Дробные
Дробно-рациональные неравенства
Здесь появляется область допустимых значений. Знаменатель не может быть нулём, поэтому такая точка выкалывается из ответа всегда — даже когда знак неравенства нестрогий. Нестрогость относится к числителю, а не к запрету деления на ноль.
| Неравенство | Решение |
|---|---|
| (x − 1)/(x + 2) > 0 | x < −2 или x > 1 |
| (x − 1)/(x + 2) ≥ 0 | x < −2 или x ≥ 1 |
| (x + 3)/(x − 4) ≤ 0 | −3 ≤ x < 4 |
Сравните вторую и третью строки: в одной граница включена квадратной скобкой, в другой выколота, хотя знак неравенства в обеих нестрогий. Разницу делает то, откуда взялась граница — из числителя или из знаменателя.
Системы
Системы неравенств
Решить систему неравенств — значит найти значения, которые подходят каждому неравенству сразу. Поэтому решением системы неравенств будет пересечение промежутков, а не их объединение. На числовой прямой это выглядит как участок, закрашенный дважды.
| Неравенство | Решение |
|---|---|
| x − 1 > 0 и x − 5 < 0 | 1 < x < 5 |
| 2x + 4 ≥ 0 и x − 3 ≤ 0 | −2 ≤ x ≤ 3 |
| x + 1 > 0 и x − 6 > 0 | x > 6 |
| x < 2 и x > 7 | решений нет |
Последняя строка показывает нормальный исход: промежутки не пересекаются, и у системы неравенств решений нет. Пустой ответ — это ответ, а не признак ошибки.
Где ошибаются
Четыре ошибки, которые встречаются чаще всего
- Забыли развернуть знак при делении на отрицательное число. Ответ получается зеркальным: вместо «x > 4» выходит «x < 4».
- Домножили на выражение с переменной. Пока неизвестно, положительное оно или отрицательное, непонятно и то, оставлять знак неравенства или разворачивать. Такой шаг меняет набор решений — то есть решается уже другое неравенство.
- Включили выколотую точку. Ноль знаменателя в ответ не входит никогда.
- Перепутали пересечение с объединением в системе неравенств. «И» — пересечение, «или» — объединение, и это разные ответы.
Все четыре ловятся одной проверкой: возьмите число из ответа и число снаружи и подставьте в исходное неравенство. Тридцать секунд, а находит любую из них.
Неравенство не сходится? Пришлите его снимком
Открыть бота в Telegram Открыть бота в MAXКоротко