Как решать дроби

Шесть школьных действий разобраны по порядку, у каждого — примеры с ответом и способ проверить себя, не заглядывая в конец учебника. Ни одно значение здесь не набрано вручную: всё пересчитано при сборке.

С чего начать

Что такое дробь и какие они бывают

Запись из двух этажей читается снизу вверх: нижнее число сообщает, на сколько равных долей разрезали целое, верхнее — сколько этих долей забрали себе. Держа в голове только это, можно вывести почти все правила темы, которые в учебнике даны как отдельные и не связанные между собой.

Различать эти два вида нужно с самого начала: неправильную почти всегда переводят в смешанное число, а в ответе оставляют в том виде, какого требует задание. Отдельная неловкость в том, что «неправильная» здесь не значит «ошибочная» — это просто значение не меньше единицы.

Главный приём

Приведение к общему знаменателю

Складывать и вычитать можно только те дроби, у которых знаменатели совпадают: части должны быть одного размера, иначе складывать нечего. Поэтому первым действием их и приводят к одному виду, и это единственная трудность во всём сложении.

Ищут при этом не любое подходящее число, а самое маленькое из общих кратных — иначе числа разрастаются и сокращать придётся дважды. Узнав его, для каждой дроби считают, во сколько раз её знаменатель придётся увеличить; на столько же увеличивают и верх. Само число от такой операции прежнее, длиннее становится только запись.

Каждая строка проверяется при сборке страницы трижды: что общий знаменатель действительно наименьший, что дополнительные множители дают именно его и что приведённая дробь равна исходной. Последнее и есть смысл всей операции.

Плюс и минус

Сложение и вычитание дробей

При совпадающих низах складывать приходится только верхние числа, низ переезжает в ответ нетронутым. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно умножить каждую на свой дополнительный множитель и лишь затем браться за верх. Сложение дробей с разными знаменателями тем и отличается от простого случая — одним подготовительным ходом, не более.

Разность считается тем же порядком, и промах здесь тоже один на всех — заодно с верхними числами вычесть нижние. Способ убедиться, что обошлось: прибавьте полученное обратно к тому, что вычитали. Не вышло исходное — где-то ошибка, и искать её надо в первом же действии.

Умножить и разделить

Умножение и деление дробей

Здесь, наоборот, приводить ничего не нужно, и это удивляет: произведение считается проще суммы. Перемножают числители, потом знаменатели — и всё. Никакого общего знаменателя для этого не требуется.

Частное считают через обратную величину: вторую дробь переворачивают и умножают на неё первую. Перевёрнутая называется обратной, и приём работает всегда, включая случай с целым числом — его записывают со знаменателем один.

Сокращать удобнее до умножения, а не после. В примере 4/9 · 3/8 можно заранее сократить четвёрку с восьмёркой и тройку с девяткой — тогда перемножать придётся однозначные числа вместо двузначных, и полученную дробь не нужно будет сокращать отдельно.

До простого вида

Сокращение дробей

Операция обратная приведению: верх и низ делят на общий для них множитель, отчего запись укорачивается, а число остаётся тем же. В ответе принято доводить до вида, где делить дальше нечем, и выгоднее сразу поделить на наибольший общий делитель — иначе процедуру приходится повторять по два-три раза.

Проверка сокращения устроена в три хода: значение до и после совпадает, НОД полученной дроби равен единице, а перекрёстное произведение с исходной сходится. Дробь, сокращённая не до конца, страницу не соберёт.

Целое и часть

Смешанные числа

Такая запись держит целое и остаток рядом, без знака между ними. Разворачивают её умножением: целое на низ, плюс верх — и всё это ставят наверх, низ не трогают. Свернуть обратно помогает деление с остатком: сколько раз низ уложился, столько и целых, что не уложилось — остаётся наверху.

Для сложения и вычитания смешанные числа обычно переводят в неправильные дроби, считают и переводят обратно. Так меньше шансов запутаться, чем при отдельном счёте целых и дробных частей, — особенно когда при вычитании приходится занимать единицу.

Что больше

Сравнение дробей

При совпадающих низах вопрос решается взглядом на верх: где взяли больше частей, там и величина больше. Обратный случай интереснее — если верх у обеих один, крупнее окажется та, у которой низ меньше: пирог, разрезанный на шесть кусков, даёт куски крупнее, чем разрезанный на десять.

В общем случае работает перекрёстное произведение: числитель первой умножают на знаменатель второй и сравнивают с обратным произведением. Это тот же переход к общему знаменателю, только знаменатель не выписывают — сравнивать всё равно приходится только числители.

Две записи

Обыкновенная дробь и десятичная

Запись через запятую — тот же двухэтажный вид, только низ у него всегда круглый: десять, сто, тысяча. Перевод делается делением верха на низ, вот только заканчивается оно не у каждой дроби: у некоторых цифры после запятой повторяются без конца.

Признак конечности здесь не переписан из учебника, а вычисляется: у несократимой дроби знаменатель раскладывают на множители, и десятичная запись конечна тогда и только тогда, когда в разложении остались одни двойки и пятёрки. Пометка, разошедшаяся с расчётом, роняет сборку.

Практический вывод: одну треть в десятичном виде записать точно нельзя, и в вычислениях её оставляют обыкновенной дробью. Округление до 0,33 даёт ошибку, которая в длинной задаче накапливается — поэтому в математике обыкновенные дроби и живут дольше десятичных.

Где ошибаются

Четыре ошибки, из-за которых ответ не сходится

Первая и самая частая: складывают числители и знаменатели по отдельности. Проверяется мгновенно — половина плюс треть должны дать больше половины, а «две пятых» меньше.

Вторая: при делении переворачивают не ту дробь. Переворачивается всегда делитель, то есть вторая. Проверка обратным действием ловит это сразу: умножьте частное на делитель и посмотрите, вышло ли делимое.

Третья: дробь сокращена не до конца. Формально ответ верный, но в школе его считают незавершённым — а на экзамене с кратким ответом просто не засчитают.

Четвёртая: при вычитании смешанных чисел не заняли единицу у целой части. Признак — в ответе получился отрицательный числитель при положительном ответе.

Коротко

Часто задаваемые вопросы