Как решать проценты

Три типа задач, к которым сводится вся тема, таблица дробей для счёта в уме и тринадцать примеров, посчитанных до ответа. Отдельно — два изменения подряд и растворы, где чаще всего ошибаются.

Основа

Что такое процент и как перевести его в дробь

Процент — это одна сотая часть числа. Значок % можно молча заменять на «делить на сто», и половина задач после этого решается устно: 30 % от 250 — это 250 · 30 / 100. Перевести проценты в десятичную дробь ещё проще: запятая сдвигается на два знака влево, 30 % превращаются в 0,3, а 7 % — в 0,07. Обратный ход такой же: долю умножают на сто.

Таблица построена из обыкновенных дробей, а не набрана: значения посчитаны при сборке страницы и сверены с одиннадцатью, которые обычно помнят наизусть. Треть и две трети в процентах не выражаются точно, поэтому у них стоит знак «приблизительно» — 33,3 % и 66,7 %.

Половину этой таблицы стоит выучить: значения ½, ¼, ⅕ и ⅒ встречаются в задачах чаще остальных вместе взятых. Увидели «скидка 25 %» — сразу представили четверть, и делить на сто уже не нужно.

Типы

Типы задач на проценты: их всего три

Какой бы длинной ни была формулировка, задача сводится к одному из трёх вопросов. Первый: известно целое, ищем часть — это нахождение процента от числа. Второй: известна часть, ищем целое — нахождение числа по его доле. Третий: известны обе величины, а найти нужно, во сколько раз одна меньше другой, — нахождение процентного отношения. Дальше идёт только арифметика, а решение задач на проценты держится на том, чтобы правильно определить тип. Научиться решать задачи на проценты — это и значит различать эти три вопроса.

Определяется он по вопросу, а не по числам. «Сколько человек пошли на олимпиаду» — ищут часть. «Сколько было изначально» — ищут целое. «На сколько подорожало» — отношение разницы к первоначальному значению. Ошибка почти всегда происходит на этом шаге, а не в вычислениях.

Здесь целое известно, поэтому его умножают на 0,4 или 0,15 — на то, во что превратился процент. Проценты с решением такого вида дают в пятом и шестом классе, и они же встречаются в первой части ОГЭ.

Тут наоборот: известна часть, а целое нужно найти, поэтому делят. Самая частая ловушка — цена после скидки. Если куртка после скидки 25 % стоит 3600 рублей, то 3600 — это не 25 %, а оставшиеся 75 %, то есть 0,75 от старой цены. Делить нужно именно на 0,75.

Здесь одно число делят на другое, а результат переводят в сотые. Важно, что стоит в знаменателе: при вопросе «на сколько выросло» в знаменатель идёт начальное значение, а не конечное.

Способы

Три способа посчитать одно и то же

Представим проценты тремя разными записями — ответ обязан получиться один. Ниже все три пути к «30 % от 250», и они дают 75. Выбирают тот, который удобнее в конкретной задаче: через дробь считать быстрее в уме, через единицу — когда их много и они разные, через пропорцию — когда неизвестное стоит не там, где привычно.

1. Через дробьПроцент — это сотая часть. 30 % = 30/100 = 0,3, поэтому «30 % от 250» означает 250 · 0,3. Ответ: 75.
2. Через единицуНайдите 1 % — разделите на 100, потом умножьте на нужное число процентов. 1 % от 250 равен 2,5, значит 30 % — это 2,5 · 30. Ответ: 75.
3. Через пропорцию250 — это 100 %, x — это 30 %. Крест-накрест: x = 250 · 30 / 100. Ответ: 75.

Пропорция полезнее прочих на экзамене: она одинаково работает во всех трёх типах задач. Записывается всегда одинаково — целое к ста, часть к искомому проценту, — а дальше перемножается крест-накрест. Не нужно помнить, умножать или делить: пропорция решает это за вас.

Ловушки

Два изменения подряд не складываются

Самое неочевидное место во всей теме. Цену подняли на 20 %, потом опустили на 20 % — кажется, что вернулись к исходной. На самом деле нет: второй раз их брали уже от выросшей цены. Умножаем 1,2 на 0,8 и получаем 0,96 — цена стала ниже начальной на четыре процента.

Отсюда правило: изменения не складывают, а перемножают коэффициенты. Рост на 20 % — это умножение на 1,2, снижение — на 0,8. Так же устроен и вклад: когда проценты начисляются каждый год на уже выросшую сумму, коэффициент возводится в степень по числу лет. При простом начислении база каждый год одна и та же, начальная, поэтому вклад растёт медленнее.

Смеси

Проценты в растворах и смесях

Задачи про соль в воде и сплавы решаются одним приёмом: держаться не за концентрацию, а за массу чистого вещества. Концентрация при добавлении воды меняется, а граммы соли — нет, и это единственная величина, за которую можно держаться.

Решение задач на проценты в смесях устроено одинаково: найти массу вещества до изменения, записать новую общую массу, разделить одно на другое. В задачах про сплавы вместо соли металл, но арифметика та же. Если в условии смешивают два раствора, массы чистого вещества складываются, а массы растворов — тоже, и делить нужно одну сумму на другую.

Ошибки

Где теряют баллы

Берут процент не от того числа. «На сколько процентов подорожало» берётся от старой цены, «на сколько подешевело» — тоже от старой. Одна и та же разница в рублях даёт разные проценты в зависимости от того, что стоит в знаменателе.

Складывают проценты разных изменений. Скидка 30 %, а на кассе ещё 10 % — это не 40 %, а 37 %. Вторая скидка идёт от уже уменьшенной цены.

Путают процент и процентный пункт. Ставка выросла с 5 % до 7 % — это рост на два процентных пункта, но на сорок процентов. В условии всегда сказано, что именно спрашивают.

Делят на число процентов вместо дроби. Чтобы найти целое, делят на 0,25, а не на 25. Ответ, отличающийся ровно в сто раз, — след этой ошибки.

Округляют посреди решения. Треть — это 33,3 %, но если задача идёт в несколько действий, округлять нужно только в конце, иначе набегает расхождение.

По годам

Когда это проходят

Пятый и шестой класс. Само понятие процента, перевод в десятичную дробь и обратно, три типа задач в простом виде: сколько это в рублях, сколько было, какую долю составляет.

Седьмой и восьмой. Смеси и сплавы, работа с формулами и уравнениями. Появляются задачи, где неизвестное прячется внутри процента.

ОГЭ. Первая часть варианта — практические задачи про тарифы, скидки и расход, и почти в каждой есть проценты. Калькулятор там запрещён, поэтому таблица дробей экономит время.

ЕГЭ. Экономическая задача целиком построена на сложных процентах: вклады, кредиты, дифференцированные и аннуитетные платежи. Там же требуется понимать, чем начисление раз в год отличается от начисления раз в месяц.

Коротко

Часто задаваемые вопросы