ФотоМозгТаблица интегралов
Таблица неопределённых интегралов — сразу ниже, разложенная по типу подынтегральной функции. Дальше правила интегрирования, линейная замена и формула Ньютона — Лейбница.
Формулы
Таблица неопределённых интегралов
Каждая строка — пара «подынтегральная функция → первообразная». Постоянная C стоит в ответе всегда: производная любой константы равна нулю, поэтому первообразных у одной функции бесконечно много, и здесь записано сразу всё семейство. Блоки идут по типу функции — так же, как они разложены у справочников из выдачи.
| ∫f(x) dx | Первообразная |
|---|---|
| ∫0 dx | C |
| ∫dx | x + C |
| ∫f(x) dx | Первообразная |
|---|---|
| ∫xn dx | xn+1/(n+1) + C |
| ∫dx/x | ln|x| + C |
| ∫dx/(1+x²) | arctg x + C |
| ∫dx/(a²+x²) | (1/a)·arctg (x/a) + C |
| ∫dx/(x²−a²) | (1/(2a))·ln|(x−a)/(x+a)| + C |
| ∫f(x) dx | Первообразная |
|---|---|
| ∫ex dx | ex + C |
| ∫ax dx | ax/ln a + C |
| ∫f(x) dx | Первообразная |
|---|---|
| ∫dx/√(1−x²) | arcsin x + C |
| ∫dx/√(a²−x²) | arcsin (x/a) + C |
| ∫dx/√(x²+a²) | ln|x + √(x²+a²)| + C |
| ∫f(x) dx | Первообразная |
|---|---|
| ∫sin x dx | −cos x + C |
| ∫cos x dx | sin x + C |
| ∫dx/cos²x | tg x + C |
| ∫dx/sin²x | −ctg x + C |
| ∫tg x dx | −ln|cos x| + C |
| ∫ctg x dx | ln|sin x| + C |
| ∫f(x) dx | Первообразная |
|---|---|
| ∫sh x dx | ch x + C |
| ∫ch x dx | sh x + C |
Двадцать формул, и каждая проверена символьно при сборке страницы: первообразная продифференцирована обратно и сведена с подынтегральной функцией.
Правила
Правила интегрирования
Свойств у неопределённых интегралов ровно два, и оба безобидные: сумма под знаком распадается на сумму интегралов, постоянный множитель выносится наружу. Правила интегрирования на этом заканчиваются — ничего похожего на производную произведения или частного здесь нет вовсе.
| Выражение | Равно |
|---|---|
| ∫(u ± v) dx | ∫u dx ± ∫v dx |
| ∫c·f(x) dx | c·∫f(x) dx |
| ∫u dv | u·v − ∫v du |
| ∫f(kx+b) dx | (1/k)·F(kx+b) + C |
Вместо него работает интегрирование по частям: ∫u dv = u·v − ∫v du. Один множитель дифференцируют, у второго берут первообразную, и весь фокус в том, что назначить чем. Для ∫x·ex dx берут u = x — после дифференцирования x превращается в единицу и во втором слагаемом пропадает, ответ выходит x·ex − ex + C. Назначь наоборот, и выражение станет хуже исходного.
Практическое следствие для всей темы: интегралы от рациональных функций почти всегда сначала раскладывают на слагаемые, а уже потом ищут по таблице. Дробь с суммой в числителе делится почленно, корень переписывается степенью — например, 1/√x это x−½, и по табличной формуле получается 2√x.
Замена
Интегралы от сложной функции
В школе и на первом курсе почти всё сводится к линейной замене: под знаком функции стоит kx + b вместо одинокого x. Тогда берут табличную первообразную и делят результат на k.
| ∫f(x) dx | Первообразная |
|---|---|
| ∫(kx+b)n dx | (kx+b)n+1/(k·(n+1)) + C |
| ∫dx/(kx+b) | (1/k)·ln|kx+b| + C |
| ∫sin (kx+b) dx | −(1/k)·cos (kx+b) + C |
| ∫cos (kx+b) dx | (1/k)·sin (kx+b) + C |
| ∫ekx+b dx | (1/k)·ekx+b + C |
Например, ∫cos 5x dx = (1/5)·sin 5x + C. Проверка обратная и мгновенная: производная от (1/5)·sin 5x равна (1/5)·5·cos 5x, то есть cos 5x. По той же схеме ∫(3x + 1)4 dx = (3x + 1)5/15. Именно здесь чаще всего сбивает зеркальность с производной: там внутренний множитель умножается, здесь на него делят.
Инструкция
Как пользоваться таблицей интегралов
Привести выражение к табличному виду. Раскрыть скобки, разбить дробь на слагаемые, переписать корни степенями, вынести числа наружу. Пока подынтегральное выражение не похоже ни на одну строку, искать в таблице нечего.
Найти строку по типу функции. Блоки для того и разделены: интегралы от рациональных функций лежат в первом, интегралы от тригонометрических функций — в предпоследнем. Знаменатель вида a² + x² почти наверняка даст арктангенс, корень из a² − x² — арксинус.
Дописать C. Ответ без константы формально неверен, и на проверке это снимают.
Продифференцировать ответ. Это главное преимущество интегралов перед производными: правильность проверяется точно, без ключей и учебника. Возьмите производную полученной первообразной по таблице производных — должна вернуться исходная подынтегральная функция. Не вернулась, значит ошибка внутри, а не в ответе задачника.
Отдельная распространённая история — интегралы от рациональных функций с квадратным трёхчленом в знаменателе. Там сначала выделяют полный квадрат, и дробь превращается в табличную: со знаком плюс получается арктангенс, со знаком минус — логарифм.
Определённый интеграл
Формула Ньютона — Лейбница
Неопределённый интеграл — это семейство функций, определённый — число. Связывает их формула Ньютона — Лейбница: интеграл от a до b равен F(b) − F(a), где F — любая первообразная. Порядок обязателен: сначала верхний предел, потом нижний. Константа здесь сокращается сама, поэтому в определённом интеграле её не пишут.
Геометрический смысл — площадь криволинейной трапеции между графиком и осью абсцисс. Если кусок графика уходит под ось, значение на нём отрицательно, и для площади берут модуль или разбивают промежуток по нулям функции. В физике по этой же схеме считают путь по графику скорости и работу переменной силы — как такие задачи разбираются, показано на странице решение задач по физике по фото.
Ошибки
Что чаще всего ломает ответ
Потерянная константа. Самая дешёвая ошибка в теме: формула найдена верно, ответ засчитан не полностью.
Произведение под знаком. Перемножить два табличных ответа нельзя — для этого и существует интегрирование по частям.
Модуль в логарифме. ∫dx/x = ln|x| + C. Без модуля запись верна только при положительном x, а подынтегральная функция определена и слева от нуля.
Знаки в тригонометрии. ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C. У производных минус стоит на противоположном месте, и по памяти его переносят не туда.
Показатель −1. Формула xn+1/(n + 1) при n = −1 требует деления на ноль. Для этого случая в таблице отдельная строка — та самая, с логарифмом.
Интеграл не берётся? Сфотографируйте задание
Открыть бота в Telegram Открыть бота в MAXКоротко