ФотоМозгТаблица производных
Таблица производных элементарных функций — сразу ниже, пятью блоками по типу функции. Дальше правила дифференцирования, цепное правило, пять разборов по шагам и места, где ошибаются чаще всего.
Формулы
Таблица производных элементарных функций
Строки разложены по типу функции: константа и степень, показательная с логарифмической, тригонометрия, обратная тригонометрия, гиперболические функции. Нужную строку так находят быстрее, чем в одной сплошной простыне на девятнадцать формул.
| Функция | Производная |
|---|---|
| c | 0 |
| x | 1 |
| xn | n·xn−1 |
| √x | 1/(2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| Функция | Производная |
|---|---|
| ex | ex |
| ax | ax·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| Функция | Производная |
|---|---|
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| Функция | Производная |
|---|---|
| arcsin x | 1/√(1−x²) |
| arccos x | −1/√(1−x²) |
| arctg x | 1/(1+x²) |
| arcctg x | −1/(1+x²) |
| Функция | Производная |
|---|---|
| sh x | ch x |
| ch x | sh x |
Девятнадцать формул производных элементарных функций, и каждая проверена символьно при сборке страницы: производная левой колонки сведена с правой, расхождений ноль.
Правила
Правила дифференцирования
Список выше покрывает элементарные функции по отдельности. В задании почти всегда стоит выражение, собранное из нескольких, — тогда сначала работают правила дифференцирования, а готовая формула подставляется на последнем шаге.
| Выражение | Производная |
|---|---|
| (u ± v)′ | u′ ± v′ |
| (c·u)′ | c·u′ |
| (u·v)′ | u′·v + u·v′ |
| (u/v)′ | (u′·v − u·v′)/v² |
| f(g(x))′ | f′(g(x))·g′(x) |
Производная суммы ведёт себя предсказуемо: чтобы найти производную суммы, дифференцируют каждое слагаемое по отдельности, а постоянный множитель выносят наружу целиком. Производная произведения устроена не так, как хочется: перемножить две производные нельзя, в ответе оба слагаемых, u′·v и u·v′. Здесь теряют баллы чаще всего. Для x·sin x, например, получается sin x + x·cos x, а не cos x.
Производная частного выводится из того же правила и отличается минусом в числителе и квадратом знаменателя. Порядок слагаемых в ней принципиален: сверху стоит u′·v − u·v′, поменяв их местами, вы получите ответ с противоположным знаком.
Цепное правило
Производная сложной функции
Сложная функция — это функция от функции: sin 4x, ln (3x + 1), (2x − 5)7. Чтобы найти производную сложной функции, идут снаружи внутрь. Сначала берётся производная внешней, потом результат умножается на производную внутренней. Второй множитель и есть то, что забывают.
| Функция | Производная |
|---|---|
| (kx+b)n | n·k·(kx+b)n−1 |
| √(kx+b) | k/(2√(kx+b)) |
| sin kx | k·cos kx |
| cos kx | −k·sin kx |
| ekx | k·ekx |
| ln kx | 1/x |
| tg kx | k/cos²kx |
Разберём sin 4x. Внешняя функция — синус, его производная равна cos 4x. Внутренняя функция 4x даёт 4. Ответ — 4·cos 4x. Проверка себя занимает секунду: если под знаком функции стоит не одинокий x, множитель обязан появиться. У (2x − 5)7 по тому же правилу выходит 14·(2x − 5)6 — семёрка спустилась вниз и умножилась на двойку изнутри.
Инструкция
Как найти производную по таблице
Разложить выражение на слагаемые. Найти производную выражения из нескольких слагаемых — это не одна задача, а несколько маленьких: каждое слагаемое живёт своей жизнью, и для каждого найдётся своя строка.
Определить тип каждого слагаемого. Степень, корень, логарифм, тригонометрия — от этого зависит нужный блок. Если сам логарифм пока непривычен, его свойства и разбор уравнений собраны отдельно: как решать логарифмы. Корень при этом удобнее сразу переписать как степень с показателем ½: тогда работает общая формула нахождения производных степенной функции, и отдельную строку помнить не нужно.
Вынести числа. Коэффициент перед функцией к дифференцированию отношения не имеет и просто ждёт снаружи.
Посмотреть на аргумент. Стоит внутри чистый x — берём формулу как есть. Стоит что-то другое — добавляется цепное правило.
Целиком это выглядит так. Для y = 3x5 − 2·ln x + sin 4x первое слагаемое даёт 15x4, второе −2/x, третье 4·cos 4x. Ответ: y′ = 15x4 − 2/x + 4·cos 4x. Все три шага заняли одну строку, потому что каждый раз это была подстановка данных в готовую формулу, а не вывод.
Примеры
Разборы по шагам
Пять типовых заданий — по одному на каждое правило. Ответы посчитаны и проверены символьно вместе с остальной страницей.
Найдите производную функции y = 5x3 − 2x. Степенная формула для каждого слагаемого: показатель спускается множителем, степень уменьшается на единицу. Ответ: y′ = 15x2 − 2.
Найдите производную функции y = x·ln x. Произведение, работает правило u′·v + u·v′: первый множитель даёт 1·ln x, второй x·(1/x) = 1. Ответ: y′ = ln x + 1.
Найдите производную функции y = e2x. Экспонента остаётся собой, но внутри 2x, и двойка выходит наружу. Ответ: y′ = 2·e2x.
Найдите производную функции y = cos (3x + 1). Косинус даёт минус синус, внутренняя часть — тройку. Ответ: y′ = −3·sin (3x + 1).
Найдите производную выражения (x2 + 1)5. Степень снаружи, многочлен внутри: пятёрка спускается, показатель становится четвёркой, и всё умножается на 2x изнутри. Ответ: 10x·(x2 + 1)4.
Зачем
Где производная нужна
Исследование функций. Базовый сюжет профильного экзамена и контрольных десятого класса: приравнять производную к нулю, найти критические точки, посмотреть смену знака и выписать максимум с минимумом. Без готовых формул производных этот путь не начинается.
Касательная к графику. Значение производной в точке — угловой коэффициент касательной. Отсюда же берётся геометрический смысл: производная показывает, насколько круто идёт график.
Физика. Скорость — производная координаты по времени, ускорение — производная скорости. Формулы равноускоренного движения не заучивают, а получают дифференцированием; как это выглядит в задачах, разобрано на странице решение задач по физике по фото.
Обратный ход. Эти же формулы читаются справа налево — и превращаются в таблицу интегралов. Проинтегрировать значит подобрать функцию, производная которой стоит под знаком интеграла, так что выученное работает дважды.
Ошибки
Где ошибаются чаще всего
Производная произведения. Соблазн перемножить две производные велик, но такого правила нет. То же с частным: делить производную на производную нельзя.
Потерянная внутренняя производная. В ответе на sin 4x стоит cos 4x без четвёрки — самая массовая потеря балла на всём материале.
Степенная функция против показательной. У xn переменная в основании, показатель спускается вниз множителем. У ax переменная в показателе, и в ответе появляется ln a. Формулы похожи ровно настолько, чтобы их путать.
Знаки в тригонометрии. Минус даёт косинус, котангенс и арккосинус с арккотангенсом. У синуса, тангенса, арксинуса и арктангенса его нет.
Область определения. У √x производная существует только при x > 0, хотя само выражение определено и в нуле — область определения после дифференцирования сужается.
Производная не сходится с ответом? Сфотографируйте задание
Открыть бота в Telegram Открыть бота в MAXКоротко