ФотоМозгФормулы сокращённого умножения
Семь формул алгебры седьмого класса с разбором в обе стороны: раскрыть скобки и разложить на множители. С примерами, устным счётом и проверкой каждой записи на числах.
Все семь
Формулы сокращённого умножения одной таблицей
Основные формулы сокращённого умножения — это семь готовых результатов, которые в седьмом классе выводят один раз, а дальше подставляют не считая. Каждый из них — обычное раскрытие скобок, доведённое до конца заранее.
| Формула | Как называется |
|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | квадрат суммы |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | квадрат разности |
| a² − b² = (a − b)(a + b) | разность квадратов — самая полезная в сокращении дробей |
| (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | куб суммы |
| (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | куб разности |
| a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | сумма кубов |
| a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | разность кубов |
Все семь сводятся символьно при каждой сборке страницы: левая часть раскрывается и вычитается из правой, разность обязана быть нулём. Опечатка в знаке или потерянный коэффициент страницу не соберут.
Работают они в обе стороны, и это главное, что стоит понять сразу. Слева направо раскрывают скобки: было произведение — стал многочлен. Справа налево раскладывают на множители: был многочлен — стало произведение. В вычислениях чаще нужен первый ход, в упрощении алгебраических выражений и работе с уравнениями — второй.
По записям
Что означает каждая из семи записей
Формулу квадрата суммы проще держать в голове не строкой, а правилом из трёх шагов: квадрат первого слагаемого, удвоенное произведение, второе слагаемое в той же степени. У разности отличие ровно в одном знаке — минус стоит только у среднего члена, а последнее слагаемое остаётся положительным.
Формулы разности квадратов среди семи всего одна: a² − b² = (a − b)(a + b). Она единственная раскладывает многочлен на множители в одно действие и без подбора, поэтому в заданиях встречается чаще прочих. Узнаётся по простому признаку: два слагаемых, между ними минус, и каждое — точная вторая степень, причём не обязательно буквы: 9x² − 4y² тоже подходит.
У кубов две пары. Куб суммы и куб разности раскрываются в четыре слагаемых с коэффициентами 1, 3, 3, 1, только у разности знаки чередуются. Сумма кубов и разность кубов, наоборот, раскладываются на множители, и путают в них обычно знаки: в первой скобке знак тот же, что между кубами, а в неполном квадрате — противоположный.
Слева направо
Как раскрывать скобки: разобранные примеры
Вместо букв a и b может стоять что угодно — цифра, одночлен с коэффициентом, целое выражение. Подставляется слагаемое целиком, вместе со своим коэффициентом, и в степень возводится тоже целиком.
| Выражение | Что происходит |
|---|---|
| (x + 3)² = x² + 6x + 9 | квадрат суммы: удвоенное произведение — это 2 · x · 3 |
| (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25 | коэффициент возводится в квадрат вместе с буквой |
| (x − 7)² = x² − 14x + 49 | квадрат разности: минус стоит только у среднего члена |
| (3x − 2y)² = 9x² − 12xy + 4y² | две переменные считаются так же |
| (x + 4)(x − 4) = x² − 16 | разность квадратов: средние члены сокращаются |
| (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1 | куб суммы: коэффициенты 1, 3, 3, 1 |
| (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8 | куб разности: знаки чередуются |
Каждое раскрытие сводится символьно при сборке страницы: записанное слева после раскрытия обязано совпасть с записанным справа.
Здесь чаще всего теряют коэффициент. В выражении (2x + 5)² первое слагаемое равно 2x, и выполнить умножение нужно вместе с двойкой: её вторая степень даёт 4x², а не 2x². Удвоенное произведение считается так же честно — 2 · 2x · 5 = 20x.
Справа налево
Разложить на множители: обратный ход
Разложение — это те же семь записей, прочитанные с другой стороны. Задача сводится к узнаванию: понять, какой из них соответствует многочлен, и выписать её правую часть.
| Выражение | По какому признаку узнаётся |
|---|---|
| x² − 25 = (x − 5)(x + 5) | разность квадратов — первое, что стоит искать |
| 9x² − 4y² = (3x − 2y)(3x + 2y) | под квадратом может стоять целое одночлен |
| x² + 10x + 25 = (x + 5)² | полный квадрат: средний член равен удвоенному произведению |
| x² − 12x + 36 = (x − 6)² | тот же признак, только со знаком минус |
| x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4) | сумма кубов: во второй скобке неполный квадрат |
| x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9) | разность кубов: знак в скобке меняется на плюс |
Порядок узнавания короткий. Два слагаемых с минусом, оба во второй степени — работает формула разности квадратов. Два слагаемых и оба кубы — смотрим на знак между ними. Три слагаемых, крайние — точные квадраты, а средний равен их удвоенному произведению — сворачиваем обратно в скобку. Не подошло ничего — эти формулы тут не помогут, нужен другой приём.
Проверка среднего члена обязательна, а не формальна. В x² + 10x + 25 крайние члены дают x и 5, их удвоенное произведение равно 10x — сходится. В x² + 11x + 25 не сходится, и сворачивать нечего, сколько ни смотри.
В уме
Устный счёт: где это экономит время
Придуманы они не для алгебры, а для вычислений, и в математических примерах работают так же. Приём один: разложить неудобный множитель на круглый и маленький, а дальше подставить.
| Считаем | Как разложить | Ответ |
|---|---|---|
| 51² | (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 (квадрат суммы) | 2601 |
| 98² | (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 (квадрат разности) | 9604 |
| 63 · 57 | (60 + 3)(60 − 3) = 3600 − 9 (разность квадратов) | 3591 |
| 104 · 96 | (100 + 4)(100 − 4) = 10000 − 16 (разность квадратов на круглом числе) | 9984 |
| 199² | (200 − 1)² = 40000 − 400 + 1 (квадрат разности) | 39601 |
Каждый ответ считается дважды: в лоб и через разложение. Ответ на странице — результат обоих расчётов, и они обязаны совпасть.
Особенно выгодна пара чисел, симметричных относительно круглого. Вычислить 63 · 57 в столбик — это три строки с переносом, а через разложение одно вычитание: 3600 − 9. Признак такой пары простой: полусумма круглая, и до неё каждый множитель отстоит на одинаковую величину.
В дробях
Сокращение дробей: почему разложение первое
Сокращать в дроби можно только целые скобки, а не слагаемые, — поэтому разложение здесь первый ход и самый частый шаг в преобразовании алгебраических выражений. Пока числитель записан суммой, сокращать нечего.
| Дробь | По какому признаку |
|---|---|
| (x² − 9) / (x − 3) = x + 3 | числитель раскладывается в разность квадратов |
| (x² + 4x + 4) / (x + 2) = x + 2 | числитель — полный квадрат |
| (x³ − 1) / (x − 1) = x² + x + 1 | разность кубов сокращает знаменатель целиком |
| (a² − b²) / (a + b) = a − b | самый частый ход в задачах на упрощение |
Первая строка — типовое задание «упростить выражение». Числитель раскладывается на две скобки, одна из них уходит вместе со знаменателем, остаётся x + 3. Оговорка при этом обязательна: x не равен трём, иначе знаменатель обращается в ноль.
Где ломается
Частые ошибки и как их поймать
Ошибок в этой теме немного, и они одни и те же из года в год. Ниже пять записей, которые встречаются в тетрадях чаще прочих, рядом с верным вариантом.
| Выражение | Как пишут неверно | Как верно | В чём дело |
|---|---|---|---|
| (a + b)² | a² + b² | a² + 2ab + b² | потерянное удвоенное произведение — ошибка номер один. Проверяется числами: при a = 1 и b = 1 слева 4, а в неверной записи 2 |
| (a − b)² | a² − 2ab − b² | a² − 2ab + b² | минус перед b² — квадрат отрицательного числа всё равно положителен |
| a² − b² | (a − b)² | (a − b)(a + b) | разность квадратов и квадрат разности — разные вещи с похожими названиями |
| a³ + b³ | (a + b)³ | (a + b)(a² − ab + b²) | сумма кубов не равна кубу суммы: у куба суммы есть ещё два средних члена |
| a³ + b³ | (a + b)(a² + ab + b²) | (a + b)(a² − ab + b²) | знак в неполном квадрате противоположен знаку между кубами — это и путают |
Здесь проверяется не только правая колонка. Машина отдельно убеждается, что каждая «ошибка» действительно ошибка: если бы неверная запись оказалась тождеством, страница бы не собралась. Проверка, которая не может упасть, ничего не стоит.
Поймать любую из них можно подстановкой. Возьмите a = 2 и b = 3, посчитайте обе части и сравните. Разошлись — запись неверна, как бы похоже она ни выглядела на правильную. Эта привычка полезнее заучивания.
Нужен ли
Калькулятор для этих формул не нужен
Онлайн-калькулятор выдаёт готовый многочлен, и на контрольной это бесполезно: балл ставят за ход, а не за ответ. Смысл тут как раз в том, чтобы считать без вычислений, поэтому калькулятор борется с самой задачей.
Обычный калькулятор с возведением в степень тоже помогает мало: он посчитает 51², но не покажет разложение и не научит узнавать полный квадрат в трёхчлене. А то, ради чего в тему и заходят, — раскрыть скобки в выражении с буквами — калькулятор без ввода выражения не сделает вовсе.
Если разбор нужен на своей задаче, а не на учебном примере, её проще сфотографировать: придёт решение по шагам, с раскрытием и приведением подобных. Соседние темы — на страницах формул по математике и решения математики по фото.
Откуда взялись
Доказательство формул занимает одну строку
Ни одна из семи записей не постулируется — каждая выводится обычным умножением многочлена на многочлен. Для первой: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b², два одинаковых слагаемых складываются в удвоенное произведение. Для третьей: (a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b², средние члены взаимно уничтожаются.
Кубы выводятся так же, только в два действия: сначала возводим скобку во вторую степень, потом умножаем результат ещё раз на неё же. Доказательство формул стоит проделать один раз самому — тогда запись не нужно вспоминать целиком, достаточно помнить, что она есть, и восстановить за полминуты.
Пример на формулы не сходится? Сфотографируйте его
Открыть бота в Telegram Открыть бота в MAXКоротко